【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ .
(1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為 ,求a的值;
(3)若f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
【答案】
(1)解:∵f(x)=lnx﹣ ,
∴f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞), ,
∵a>0,∴f′(x)>0,
∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增
(2)解:由(1),當(dāng)a≥0時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(1)=﹣a= ,
∴a=﹣ ,不舍題意,舍;
當(dāng)﹣e<a<0時(shí),f(x)在[1,﹣a]上單調(diào)遞減,在[﹣a,e]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,解得a=﹣ ;
當(dāng)a<﹣e時(shí),f(x)在[1,e]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(1)=﹣a= ,解得a=﹣ ,不合題意,舍;
綜上所述,a=﹣
(3)解:∵ ,∴a>xlnx﹣x3,
令g(x)=xlnx﹣x3,則g′(x)=lnx+1﹣3x2, ,
當(dāng)x>1時(shí),g'(x)<0,∴g′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g′(x)<g′(1)=2<0,
∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴g(x)<g(1)=﹣1.
∴a≥﹣1.
∴f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,a的取值范圍是[﹣1,+∞)
【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞), ,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由(1)根據(jù)a的取值范圍分類討論,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的值.(3)由 ,得a>xlnx﹣x3 , 令g(x)=xlnx﹣x3 , 由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式ax2﹣bx+c≥0的解集為{x|1≤x≤2},則cx2+bx+a≤0的解集為 .
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【題目】三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)面AA1C1C為正方形,側(cè)面AA1B1B⊥側(cè)面BB1C1C,且AC=2,AB= ,∠A1AB=45°,E、F分別為AA1、CC1的中點(diǎn).
(1)求證:AA1⊥平面BEF;
(2)求二面角B﹣EB1﹣C1的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓: ()的左右焦點(diǎn)分別為, ,下頂點(diǎn)為,直線的方程為.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn), 到直線的距離為,且三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若斜率為的直線與橢圓相切,過(guò)焦點(diǎn), 分別作, ,垂足分別為, ,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高二年級(jí)學(xué)生會(huì)有理科生4名,其中3名男同學(xué);文科生3名,其中有1名男同學(xué).從這7名成員中隨機(jī)抽4人參加高中示范校驗(yàn)收活動(dòng)問(wèn)卷調(diào)查.
(Ⅰ)設(shè)為事件“選出的4人中既有文科生又有理科生”,求事件的概率;
(Ⅱ)設(shè)為選出的4人中男生人數(shù)與女生人數(shù)差的絕對(duì)值,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的行人,對(duì)過(guò)馬路是愿意走斑馬線還是愿意走人行天橋進(jìn)行抽樣調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:
男 | 女 | 總計(jì) | |
走天橋 | 40 | 20 | 60 |
走斑馬線 | 20 | 30 | 50 |
總計(jì) | 60 | 50 | 110 |
由 ,算得
參照獨(dú)立性檢驗(yàn)附表,得到的正確結(jié)論是( )
A.有99%的把握認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別有關(guān)”
B.有99%的把握認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別無(wú)關(guān)”
C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別有關(guān)”
D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下,認(rèn)為“選擇過(guò)馬路的方式與性別無(wú)關(guān)”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3﹣x+3. (Ⅰ)求f(x)在x=1處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知△ABC的外接圓半徑為1,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC.
(1)求cosA及a的值;
(2)若b2+c2=4,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系 中,曲線 的參數(shù)方程為 ( 為參數(shù)),以原點(diǎn) 為極點(diǎn),以 軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線 的極坐標(biāo)方程為 .
(1)求曲線 的普通方程與曲線 的直角坐標(biāo)方程;
(2)試判斷曲線 與 是否存在兩個(gè)交點(diǎn),若存在,求出兩交點(diǎn)間的距離;若不存在,說(shuō)明理由.
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