【題目】設橢圓 )的左右焦點分別為, ,下頂點為,直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的離心率;

(Ⅱ)設為橢圓上異于其頂點的一點, 到直線的距離為,且三角形的面積為.

(1)求橢圓的方程;

(2)若斜率為的直線與橢圓相切,過焦點 分別作, ,垂足分別為, ,求的最大值.

【答案】(1)(2)4

【解析】試題分析:(Ⅰ) 由直線斜率為 可得 ,從而可得結(jié)果;(Ⅱ)(1)先求得 點坐標,根據(jù)三角形面積可得 的值,從而可得橢圓方程,(2) 設直線 代入橢圓的方程中,

,判別式為零,及點到直線的距離公式可將表示為 的函數(shù),再利用基本不等式求解即可.

試題解析:(Ⅰ)由已知,則.

,

(Ⅱ)(1)設點,于是,

所以

無解;

.

又因為三角形面積,所以

于是,橢圓的方程為.

(2)設直線 代入橢圓的方程中,

由已知,即

同時,

①當時,

所以

當且僅當時等號成立

時, ,因此

②當時,四邊形為矩形

此時

綜上①②可知, 的最大值為4.

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程和最值問題,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)法以及均值不等式法,本題(Ⅱ)就是用的這種思路,利用均值不等式法的最大值的.

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