Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx在x=3時取得極值-54
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲線y=f（x）與x軸圍成圖形的面積．

Answer 1

分析：（I）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)f′（3）=0且f（3）=-54可求出a，b的值，
（II）先求出曲線與x軸的交點，設(shè)圍成的平面圖形面積為A，利用定積分求出A即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+b，x∈R，由函數(shù)x=3時取得極值-54可知f′（3）=0且f（3）=-54，
即

27a+b=0 27a+3b=-54

，解得a=1，b=-27；
（Ⅱ）∵f（x）=x³-27x，由f（x）=x³-27x=0可知x1=0，x2=-3

3

，x3=3

3

又∵f（-x）=-x³+27x=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
∴曲線y=f（x）與x軸圍成圖形的面積為A=2

∫

0 -3 3

(x3-27x)dx=2(

1

4

x4-

27

2

x2)

|

0 -3 3

=

729

2

．

點評：此題是個中檔題．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系、定積分在求面積中的應(yīng)用．導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)下放到高中的內(nèi)容，是高考的熱點問題，每年必考，要給予充分重視．