Question

【題目】如圖，已知圓，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)和半徑相交于.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與（Ⅰ）中軌跡相交于，兩點(diǎn)，直線(xiàn)，，的斜率分別為，，（其中），的面積為，以，為直徑的圓的面積分別為，，若，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，根據(jù)題意，，可得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓．解出即可；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，．與橢圓的方程聯(lián)立可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其，，構(gòu)成等比數(shù)列，可得，解得，．利用，解得，且．利用

，可得為定值．代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出的取值范圍．

試題解析：（1）連接，根據(jù)題意，，則，

故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓.

設(shè)其方程為，可知，，則，

∴點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，.

聯(lián)立，化為，

∴，，.

∵，，構(gòu)成等比數(shù)列，∴，化為，

∴，解得.∵，∴.

此時(shí)，解得.

又由、、三點(diǎn)不共線(xiàn)得，從而.

故，

又，則

為定值.

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.

綜上：.