Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（2）當a＜0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導數(shù)的幾何意義，可求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（2）求導函數(shù)，在區(qū)間上，f'（x）＞0；在區(qū)間上，f'（x）＜0，故可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）由已知轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，可求g（x）_max=2，f（x）最大值-1-ln（-a），由此可建立不等式，從而可求a的取值范圍．
解答：解：（1）由已知，…（2分）
∴f'（1）=2+1=3．
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3．…（4分）
（2）求導函數(shù)可得．…（5分）
當a＜0時，由f'（x）=0，得．
在區(qū)間上，f'（x）＞0；在區(qū)間上，f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為…（10分）
（3）由已知轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．
∵g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x₂∈[0，1]，∴g（x）_max=2…（11分）
由（2）知，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意．
（或者舉出反例：存在f（e³）=ae³+3＞2，故不符合題意．）
當a＜0時，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，，
所以2＞-1-ln（-a），所以ln（-a）＞-3，
解得．…（14分）
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查求參數(shù)的值，解題的關鍵是轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．