Question

已知f（x）=x³+3x+q且a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，若設(shè)p=f（a）+f（b）+f（c），則p和q的關(guān)系是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令g（x）=f（x）-q=x³+3x，分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，可得g（a）+g（b）＞0，g（a）+g（c）＞0，g（b）+g（c）＞0，累加得g（a）+g（b）+g（c）＞0，進而得到結(jié)論．

解答： 解：令g（x）=f（x）-q=x³+3x，
則g′（x）=3x²+3＞0恒成立，
故g（x）在R上為增函數(shù)，
又由g（-x）=-g（x）得g（x）為奇函數(shù)，
∵a+b＞0，
∴a＞-b，
即g（a）＞g（-b）=-g（b），
即g（a）+g（b）＞0，…①
同理：g（a）+g（c）＞0，…②
g（b）+g（c）＞0，…③
三式相加得：2（g（a）+g（b）+g（c））＞0，
即g（a）+g（b）+g（c）＞0，
則f（a）+f（b）+f（c）=g（a）+q+g（b）+q+g（c）+q＞3q，
故p＞3q，
故答案為：p＞3q

點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-q=x³+3x，并分析函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，是解答的關(guān)鍵．