Question

定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象既關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)（3，2）對(duì)稱，則f（0）+f（2）+f（4）+…+f（14）=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先根據(jù)對(duì)稱性分別得到f（2-x）+f（x）=2，f（6-x）+f（x）=4，從而得到f（6-x）=f（2-x）+2，然后賦值，注意把f（2）看成常數(shù)，來(lái)表示其余的函數(shù)值，最后化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，
∴f（2-x）+f（x）=2，
又定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，2）對(duì)稱，
∴f（6-x）+f（x）=4，
∴f（6-x）=f（2-x）+2，
令x=0得，f（0）+f（2）=2，f（0）+f（6）=4，f（6）=2+f（2），
令x=2則f（2）+f（4）=4，f（4）=4-f（2），
又f（8）=2+f（4）=6-f（2），
f（10）=2+f（6）=4+f（2），
f（12）=f（8）+2=4+f（4）=8-f（2），
f（14）=f（10）+2=4+f（6）=6+f（2）
∴f（0）+f（2）+f（4）+f（6）+…+f（14）
=16+[f（0）+f（6）]+3[f（2）+f（4）]
=16+4+12=32．
故答案為：32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的對(duì)稱性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，正確賦值是解題的關(guān)鍵，該類問(wèn)題可統(tǒng)一用某個(gè)函數(shù)值表示其他的值，體現(xiàn)歸一思想，值得重視．