Question

一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且這個球的體積為，已知該六棱柱的高為，則這個六棱柱的體積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)外接球的體積為，得到外接球半徑R=1．在經(jīng)過球心和正六棱柱一條側棱的截面中，運用勾股定理算出底面的邊長，從而得出底面六邊形的面積，最后根據(jù)柱體體積公式算出這個六棱柱的體積．
解答：解：設該正六棱柱的底面邊長為a，高為h，外接球的半徑為R
設過球心與正六棱柱一條側棱的平面截六棱柱得矩形ABCD，
則矩形一邊長為底面直徑2a，另一邊長為棱柱的高h，
∴矩形對角線AC===2R
∵外接球的體積V_球=R³=
∴外接球半徑R=1，得=2，解之得a=
由此可得正六棱柱底面的面積為S=6××（）²=
∴這個六棱柱的體積為V_正六棱柱=Sh=×=
故答案為：
點評：本題以正六棱柱為例，考查了球內(nèi)接幾何體、正六棱柱的性質(zhì)和球體柱體體積公式等知識，屬于基礎題．