（2012•�？谀M）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且這個球的體積為
4π
3
，已知該六棱柱的高為
3
，則這個六棱柱的體積為
9
8
9
8
．
分析：根據(jù)外接球的體積為
4π
3
，得到外接球半徑R=1．在經(jīng)過球心和正六棱柱一條側(cè)棱的截面中，運用勾股定理算出底面的邊長，從而得出底面六邊形的面積，最后根據(jù)柱體體積公式算出這個六棱柱的體積．
解答：解：設(shè)該正六棱柱的底面邊長為a，高為h，外接球的半徑為R
設(shè)過球心與正六棱柱一條側(cè)棱的平面截六棱柱得矩形ABCD，
則矩形一邊長為底面直徑2a，另一邊長為棱柱的高h，
∴矩形對角線AC=
h2+4a2
=
3 +4a2
=2R
∵外接球的體積V球=
4π
3
R3=
4π
3

∴外接球半徑R=1，得
3 +4a2
=2，解之得a=
1
2

由此可得正六棱柱底面的面積為S=6×
3
4
×（
1
2
）2=
3
3
8

∴這個六棱柱的體積為V正六棱柱=Sh=
3
3
8
×
3
=
9
8

故答案為：
9
8
點評：本題以正六棱柱為例，考查了球內(nèi)接幾何體、正六棱柱的性質(zhì)和球體柱體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．
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π
4
+θ）=
1
3
，則sin2θ=
-
7
9
-
7
9
．

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2
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4
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3
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4
4
．

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