Question

給出下列命題：
①已知a、b為異面直線，過(guò)空間中不在a、b上的任意一點(diǎn)，可以作一個(gè)平面與a、b都平行；
②在二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α、β內(nèi)分別有直線a、b，則二面角α-l-β是直二面角的充要條件是α⊥β或b⊥a；
③已知異面直線a與b成60°，分別在a、b上的線段AB與CD的長(zhǎng)分別為4和2，AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則EF=

3

；
④若正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為1，則此正三棱錐的體積最小值8

3

．
則正確命題的編號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：空間位置關(guān)系與距離,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)兩條異面直線之間的關(guān)系判斷①的正誤，利用充要條件的判斷方法判斷②的正誤；利用異面直線的位置關(guān)系，畫(huà)出圖形解答，判斷③的正誤；判斷棱錐的形狀求出體積判斷④的正誤；

解答： 解：對(duì)于①，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)不都可作唯一一個(gè)平面與兩條已知異面直線都平行，
有時(shí)會(huì)出現(xiàn)其中一條直線在所做的平面上，故①不正確，
對(duì)于②，在二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α、β內(nèi)分別有直線a、b，則二面角α-l-β是直二面角的充要條件是α⊥β，顯然正確，但是b⊥a，兩個(gè)平面不一定垂直，∴②不正確；
對(duì)于③，異面直線a與b成60°，分別在a、b上的線段AB與CD的長(zhǎng)分別為4和2，AC、BD的中點(diǎn)分別為E、F，則EF=

3

，如圖，過(guò)C做AB的平行線，CH，CH=AB，△CDH是直角三角形，可得HD=2

3

，GD=

3

，∠HDC=90°，CG=EF=

7

，∴③不正確；
對(duì)于④，正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為1，則此正三棱錐是正四面體，三棱錐的棱長(zhǎng)為a，∴1=

6

12

a，a=2

6

，正四面體內(nèi)的體積為：

1

3

×

3

4

(2

6

)2×

6

3

×2

6

=8

3

，最小值為8

3

∴④正確；
故答案為：④

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查同時(shí)與異面直線平行的平面的特殊情況，考查線與面垂直的判定定理，本題是一個(gè)概念辨析問(wèn)題．考查球與棱錐的位置關(guān)系，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力計(jì)算能力．