Question

已知函數f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

．
（1）求a，b；
（2）判斷函數的單調性，并用定義給出證明；
（3）若關于x的不等式mf（x）≤2^-x在（0，+∞）上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）根據題目中的條件，得到參數a、b的方程，解方程組得到a、b的值；（2）利用函數單調性定義可證，得到本題結論；（3）本題可以參變量分離，然后求出相應函數的最值，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=

5

2

，f（2）=

17

4

，
∴

21+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

，
∴

a=-1 b=0

．
（2）由（1）得：f（x）=2^x+2^-x．
其單調性判斷結論是：f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0]上單調遞減；在[0，-∞）上單調遞增．
下面證明．
證明：在（-∞，0]任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=2x2+2-x2-2x1-2-x1
=（2 x2-2 x1）+（

1

2x2

-

1

2x1

）
=

(2x2-2x1)(2x22x1-1)

2x12x2

，
∵x₁＜x₂≤0，
∴2x1＞0，2x2＞0，2x1＜2x2≤1
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴f（x）=2^x+2^-x在（-∞，0]上單調遞減．
同理可證明，f（x）=2^x+2^-x在[0，-∞）上單調遞增．
（3）∵不等式mf（x）≤2^-x，
∴m（2^x+2^-x）≤2^-x，
∴m≤

2-x

2x+2-x

，
即m≤

1

22x+1

，
當x＞0時，2^2x+1＞2，

1

22x+1

∈(0，

1

2

)，
∴x的不等式mf（x）≤2^-x在（0，+∞）上恒成立，實數m的取值范圍是：m≤0．

點評：本題考查了函數的解析式、函數的單調性以及恒成立問題，本題難度不大，屬于基礎題．