Question

【題目】已知函數(shù)， 在和處取得極值，且，曲線在處的切線與直線垂直．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）證明關(guān)于的方程至多只有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（其中是的導(dǎo)函數(shù)， 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求，根據(jù)韋達(dá)定理及列出關(guān)于 的方程組，進(jìn)而可得結(jié)果；（Ⅱ）圓方程等價(jià)于，令，研究函數(shù) 的單調(diào)性，討論與兩種情況分別證明即可.

試題解析：（Ⅰ） ，因?yàn)?/span>在和處取得極值，

所以和是方程的兩個(gè)根，則， ，

又，則，所以.

由已知曲線在處的切線與直線垂直，所以可得，

即，由此可得解得

所以

（Ⅱ）對(duì)于，

（1）當(dāng)時(shí)，得，方程無(wú)實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)時(shí)，得，令，

，

當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)或時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ．

∴的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是，

函數(shù)在和處分別取得極小值和極大值．

， ，

對(duì)于，由于恒成立，

且是與軸有兩個(gè)交點(diǎn)、開(kāi)口向上的拋物線，

所以曲線與軸有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，從而無(wú)最大值， ．

若時(shí) ，直線與曲線至多有兩個(gè)交點(diǎn)；

若 ，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)；

綜上所述，無(wú)論取何實(shí)數(shù)，方程至多只有兩實(shí)數(shù)根．