Question

7．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{（x-1）（1-λ+λx）}{x}$（其中λ為常數(shù)）．
（1）若設F（x）=lnx-ax，討論F（x）單調性；
（2）求證：當λ≥$\frac{1}{2}$時，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
（3）設數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，證明a_2n-a_n+$\frac{1}{2n}$＞ln2．

Answer 1

分析 （1）先求導，再分類討論，即可得到函數(shù)的單調性；
（2）構造函數(shù)h（x）=g（x）-h（x），當λ≥$\frac{1}{2}$時，利用導數(shù)求出函數(shù)h（x）的最小值為0，問題得以證明；
（3）構造函數(shù)m（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x∈[0，1]，求導，確定單調性，可得$\frac{1}{n+1}$＜ln（$\frac{1}{n}$+1）=ln$\frac{n+1}{n}$，累加，即可證明結論

解答 解：（1）∵F（x）=lnx-ax，x＞0，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
①當a≤0時，F(xiàn)′（x）＞0恒成立，故函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調遞增，
②當a＞0時，令F′（x）=0，解得x=$\frac{1}{a}$
當F′（x）＞0；即0＜x＜$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調遞增，
當F′（x）＜0，當x＞$\frac{1}{a}$，函數(shù)單調遞減；
綜上所述：當a≤0時，函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調遞增，
當a＞0時，函數(shù)F（x）在（0，$\frac{1}{a}$∞）上單調遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上單調遞減；
（2）∵g（x）=$\frac{（x-1）（1-λ+λx）}{x}$=λx+$\frac{λ-1}{x}$-2λ+1，
設h（x）=g（x）-h（x）=λx+$\frac{λ-1}{x}$-2λ+1-lnx，
∴h′（x）=λ-$\frac{λ-1}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{λ{x}^{2}-x-（λ-1）}{{x}^{2}}$=$\frac{（λx+λ-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，解得x=1，或x=$\frac{1-λ}{λ}$=$\frac{1}{λ}$-1
∵λ≥$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{1-λ}{λ}$=$\frac{1}{λ}$-1≤1，
①當$\frac{1}{λ}$-1＞0時，即λ＜1時，
即當$\frac{1}{2}≤$λ＜1時，函數(shù)h（x）在（0，$\frac{，1-λ}{λ}$）和（1，+∞）為增函數(shù)，在（$\frac{1-λ}{λ}$，1）上為減函數(shù)，
所以當x=1時，h（x）min=h（1）=0，
∴當$\frac{1}{2}≤$λ＜1時，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
②當λ≥1時，函數(shù)h（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，在（0，1）上為減函數(shù)，
所以當x=1時，h（x）min=h（1）=0，
∴當λ≥1時，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立，
綜上所述當λ≥$\frac{1}{2}$時，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
（3）∵數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，
∴a_2n-a_n+$\frac{1}{2n}$=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2n}$=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n}$，
設m（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，x∈[0，1]，求導得m′（x）=$\frac{x}{（x+1）^{2}}$≥0，
所以函數(shù)m（x）在區(qū)間[0，1]上單調遞增，
由于0＜$\frac{1}{n}$≤1，故m（$\frac{1}{n}$）＞m（0）=0，
即ln（1+$\frac{1}{n}$）-$\frac{1}{n+1}$＞0，
所以$\frac{1}{n+1}$＜ln（$\frac{1}{n}$+1）=ln$\frac{n+1}{n}$
累加即得$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n}$＜ln（$\frac{n+1}{n}$×$\frac{n+2}{n+1}$×…×$\frac{2n}{2n-1}$×$\frac{2n}{2n-1}$）=ln（2×$\frac{2n}{2n-1}$）＜ln2，
故原不等式成立．

點評 本題考查導數(shù)和函數(shù)的單調性以及和最值的關系，以及不等式的證明，關鍵是構造函數(shù)，考查學生分析解決問題的能力，屬于難題．