15．“無字證明”（proofs　without　words）就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn)，請利用下面兩個三角形（△ACD和△ECD）的面積關(guān)系，寫出高中數(shù)學(xué)中的一個重要關(guān)系式：$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

分析 由三角形相似把AB的長度用a，b表示，然后利用三角形ACD的面積小于等于三角形ECD的面積得到不等式$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

解答 解：由圖可知：AB2=ab，則$AB=\sqrt{ab}$，
而$OE=\frac{1}{2}（a+b）$，
${S}_{△ACD}=\frac{1}{2}（a+b）•\sqrt{ab}$，${S}_{△ECD}=\frac{1}{2}（a+b）•\frac{1}{2}（a+b）$，
由S△ACD≤S△ECD，得$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立），
故答案為：$\sqrt{ab}≤\frac{1}{2}（a+b）$．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合證明基本不等式，考查了學(xué)生的推理能力，是中檔題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．如圖，按英文字母表A、B、C、D、E、F、G、H、…的順序有規(guī)律排列而成的魚狀圖案中，字母“O”出現(xiàn)的個數(shù)為（　�。�
A．27B．29C．31D．33

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5．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{y≥{x}^{2}}\\{x-y+2≥0}\end{array}\right.$，則z=x+y的取值范圍是（　�。�
A．（0，6）B．[-$\frac{1}{4}$，6]C．[-$\frac{1}{4}$，0]D．[$\frac{3}{4}$，6]

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3．若函數(shù)f（x）的圖象從左到右先增后減，則稱函數(shù)f（x）為“∩型函數(shù)”，圖象的最高點的橫坐標(biāo)稱為“∩點”．
（1）分別判斷函數(shù)f（x）=lnx-x與函數(shù)g（x）=x2-3x+lnx是否為“∩型函數(shù)”．若是，求出它的“∩點”，若不是，試說明理由．
（2）若關(guān)于x的方程g（x）+b=0在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{（k-1）^{2}}{{k}^{2}}$-3×$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{k-1}{k}$＜lnn-n+1．

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10．求f（x）=ax2-（2a+1）x+lnx的單調(diào)區(qū)間．

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20．已知角α的終邊在函數(shù)y=-|x|的圖象上，則cosα的值為±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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7．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{（x-1）（1-λ+λx）}{x}$（其中λ為常數(shù)）．
（1）若設(shè)F（x）=lnx-ax，討論F（x）單調(diào)性；
（2）求證：當(dāng)λ≥$\frac{1}{2}$時，f（x）≤g（x）在[1，+∞）上恒成立；
（3）設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，證明a2n-an+$\frac{1}{2n}$＞ln2．

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4．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，M為AB的中點，△PAD為等邊三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）證明：PM⊥BC．
（Ⅱ）若PD=1，求點D到平面PAB的距離．

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5．已知菱形ABCD的對角線AC長為1，則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=（　　）
A．4B．2C．1D．$\frac{1}{2}$

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