Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）在點的切線方程為.

（1）求實數(shù)的值；

（2）若關(guān)于的不等式對于任意恒成立，求整數(shù)的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）計算的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)，也在切線上，列出方程組求解；

（2）構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，求出的最小值，而的值無法直接計算出來，所以根據(jù)零點存在定理，確定的范圍，再根據(jù)，得到一個等式轉(zhuǎn)化的關(guān)系，從而確定的范圍，最后確定整數(shù)的最大值.

（1）令，則，

得：，，

由題得：

（2）根據(jù)題意，要證不等式對于任意恒成立，

即證時，的最小值大于，

令，

記，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

故即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，且，，

故存在唯一，使，

故當(dāng)時，；當(dāng)時，；

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以

一方面：

另一方面：由，即，

得

由得：，進而，

所以 ，又因為是整數(shù)，所以，即.