Question

18．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸正半軸上，拋物線上一點的橫坐標為2，且該點到焦點的距離為2．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）與圓x²+（y+2）²=4相切的直線l：y=kx+t交拋物線于不同的兩點M、N，若拋物線上一點C滿足$\overrightarrow{OC}$=λ（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）（λ＞0），求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，設拋物線方程為x²=2py，由該點到焦點的距離為2可得$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$，從而求p，可得拋物線的標準方程；
（2）由題意可得k²=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$，由直線方程與拋物線聯(lián)立可得△=16（k²+t）＞0，從而求t的取值范圍，進而由韋達定理可得$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$，從而求λ的取值范圍．

解答 解：（1）x²=2py，$x=2時，y=\frac{2}{p}$，$\frac{2}{p}+\frac{p}{2}=2$，p=2，∴x²=4y…（4分）
（2）$\frac{|2+t|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2∴4{k^2}=4t+{t^2}$，∴k²=t+$\frac{{t}^{2}}{4}$①
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+t\\{x^2}=4y\end{array}\right.∴{x^2}-4kx-4t=0$，
△=16（k²+t）＞0②
由①②可知，t∈（-∞，-8）∪（0，+∞）…（6分）
設C（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=4k，∴${y_1}+{y_2}=4{k^2}+2t$．
∴$\left\{\begin{array}{l}x=λ（{{x_1}+{x_2}}）=4kλ\\ y=λ（{{y_1}+{y_2}}）=λ（{4{k^2}+2t}）\end{array}\right.$，代入x²=4y得16k²λ²=4λ（4k²+2t）．
∴$λ=1+\frac{t}{{2{k^2}}}=1+\frac{2}{t+4}$-------------（9分）
∵t＞0或t＜-8，∴$-\frac{1}{4}＜\frac{1}{t+4}＜0$或$0＜\frac{1}{t+4}＜\frac{1}{4}$
∴$λ∈（{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，\frac{3}{2}}）$---------------------------（12分）

點評 本題考查了圓錐曲線的方程的求法及圓錐曲線與直線的運算，屬于中檔題．