Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線，的斜率分別為，，若，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由題意可得：2b＝4，，a2＝b2+c2．聯(lián)立解出即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）A（﹣3，0），B（3，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），設(shè)F1M的方程為：x＝my﹣1，M（），（＞0），直線F1M與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M′（）．由根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得：.直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：（8m2+9）y2﹣16my﹣64＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及其，得0，聯(lián)立解得m．

（1）由題意，得，.

又，∴，，.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）由（1），可知，，.

據(jù)題意，直線的方程為

記直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，設(shè)，.

∵，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，得.

聯(lián)立，

消去，得，其判別式，

∴，.①

由，得，即.②

由①②，解得，

∵，∴.

∴.∴.

∴直線的方程為，即.