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已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過定點作直線l與橢圓E交于M、N兩點，求△OMN的面積S的最大值及此時直線l的方程．
【答案】分析：（1）由于不清楚橢圓焦點在哪條坐標軸上，所以設其方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），然后把點A、C的坐標代入解之即可；
（2）首先把直線按有無斜率進行分類，當l⊥x軸時，易于求得△OMN的面積S；當l的斜率存在時，設出l的點斜式方程，然后與橢圓方程聯立方程組，并消去y得關于x的一元二次方程，再由韋達定理用k的代數式表示出x1+x2與x1x2，則過焦點的弦MN及原點O到直線l的距離d均可由k的代數式表示出來，此時△OMN的面積S可得，進一步運用均值不等式求三角形面積S的最大值，最后比較兩種情況下的S進而得出答案．
解答：解：（1）設橢圓E的方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0），
將A（-2，0）、代入，得．
∴橢圓E的方程為．
（2）當l⊥x軸時，，易得|MN|=1，則．
當l的斜率存在時，設l：，代入橢圓方程x2+4y2=4，得，
設M（x1，y1），N（x2，y2），則，．
∵為橢圓E的左焦點，且橢圓中a=2，e=，
∴．
又原點O到直線l的距離，
∴．
上式等號當且僅當3k2=1+k2，即時成立．
綜上，△OMN的面積S的最大值為1，此時直線l的方程為即．
點評：本題考查用待定系數法求曲線方程以及直線和圓錐曲線的位置關系，綜合性強，字母運算能力是一大考驗，靈活運用均值不等式求三角形面積的最值是一大難點．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時．求內切圓圓心的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F（-1，0），H（1，0），當△DFH內切圓的面積最大時，求內切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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