Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+x²+bx（其中常數(shù)a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函數(shù)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）討論g（x）的單調(diào)性，并求g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f'（x）=3ax²+2x+b得g（x）=fax²+（3a+1）x²+（b+2）x+b，再由函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，由g（-x）=-g（x），利用待系數(shù)法求解．
（2）由（1）知g(x)=-

1

3

x2+2x，再求導(dǎo)g'（x）=-x²+2，由g'（x）≥0求得增區(qū)間，由g'（x）≤0求得減區(qū)間；求最值時(shí)從極值和端點(diǎn)值中取．

解答：解：（1）由題意得f'（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）是奇函數(shù)，所以g（-x）=-g（x），
即對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
從而3a+1=0，b=0，
解得a=-

1

3

，b=0，因此f（x）的解析表達(dá)式為f(x)=-

1

3

x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)=-

1

3

x3+2x，
所以g'（x）=-x²+2，令g'（x）=0
解得x1=-

2

，x2=

2

則當(dāng)x＜-

2

或x＞

2

時(shí)，g'（x）＜0
從而g（x）在區(qū)間(-∞，-

2

]，[

2

，+∞)上是減函數(shù)，
當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，g′(x)＞0，
從而g（x）在區(qū)間[-

2

，

2

]上是增函數(shù)，
由前面討論知，g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值與最小值只能在x=1，

2

，2時(shí)取得，
而g(1)=

5

3

，g(

2

)=

4 2

3

，g(2)=

4

3

，
因此g（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值為g(

2

)=

4 2

3

，最小值為g(2)=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查構(gòu)造新函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值．