Question

（本題滿分15分）已知拋物線，圓，過(guò)點(diǎn)作直線，自上而下依次與上述兩曲線交于點(diǎn)（如圖所示），．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求證： 三點(diǎn)共線；

（Ⅲ）作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求到直線的距離的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）到直線的距離的最大值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求，由題意可知，是焦點(diǎn)弦，可由焦半徑來(lái)求，故設(shè)，，有焦半徑公式可得，由拋物線方程得，故可設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，得，有根與系數(shù)關(guān)系可得，可求得的值；（Ⅱ）求證： 三點(diǎn)共線，只需證明與共線，由題意知，故可寫(xiě)出與的坐標(biāo)，由共線向量的充要條件可知，只要證明與的坐標(biāo)的交叉積等于零即可，可利用（Ⅰ）中條件證得；（Ⅲ）作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，求到直線的距離的最大值，將直線，代入圓方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線距離得，利用基本不等式即可求出點(diǎn)到直線的距離的最大值.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)直線，代入拋物線方程，得.

設(shè)，，根據(jù)拋物線定義得，

故，，所以，

而，代入上式，得；

（Ⅱ）由題意，，由（1），，

，三點(diǎn)共線；

（Ⅲ）將直線，代入圓方程，得.，

點(diǎn)到直線的距離

． .

考點(diǎn)：拋物線的定義，直線與拋物線的位置關(guān)系，對(duì)稱問(wèn)題，點(diǎn)到直線距離.