Question

【題目】已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱，，以M為圓心的圓過A，B兩點(diǎn)，且與直線相切，若存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動時(shí)，為定值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），然后根據(jù)條件得到圓心M的軌跡方程為x2＝﹣y，把|MA|﹣|MP|轉(zhuǎn)化后再由拋物線的定義求解點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：∵線段AB為⊙M的一條弦O是弦AB的中點(diǎn)，∴圓心M在線段AB的中垂線上，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則|OM|2+|OA|2＝|MA|2，

∵⊙M與直線2y﹣1＝0相切，∴|MA|＝|y|，

∴|y|2＝|OM|2+|OA|2＝x2+y2，

整理得x2＝﹣y，

∴M的軌跡是以F（0，）為焦點(diǎn)，y為準(zhǔn)線的拋物線，

∴|MA|﹣|MP|＝|y|﹣|MP|

＝|y|﹣|MP||MF|﹣|MP|，

∴當(dāng)|MA|﹣|MP|為定值時(shí)，則點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，即P的坐標(biāo)為（0，），

∴存在定點(diǎn)P（0，）使得當(dāng)A運(yùn)動時(shí)，|MA|﹣|MP|為定值．

故選：C.