Question

【題目】對于項數(shù)為m（且）的有窮正整數(shù)數(shù)列，記，即為中的最小值，設(shè)由組成的數(shù)列稱為的“新型數(shù)列”.

（1）若數(shù)列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數(shù)列”的所有項；

（2）若數(shù)列滿足，且其對應的“新型數(shù)列”項數(shù)，求的所有項的和；

（3）若數(shù)列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數(shù)列”.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列為2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）滿足題意的數(shù)列：.所以對應的“新型數(shù)列”分別為：.

【解析】

(1)根據(jù)的定義直接寫出的所有項；(2)首先推出關(guān)于n遞減，則中共21項且各項分別與中各項相同，相加利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得解.(3)先不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，分、、三種情況討論，求出滿足題意的數(shù)列，進而求得對應的“新型數(shù)列”.

解：（1）數(shù)列為2019，2019，2019，2018，2017；

（2）由已知得：當時，關(guān)于n遞減；當時，關(guān)于n遞減，

又時，關(guān)于n遞減.

，.

又，.

共21項且各項分別與中各項相同，

其和為

.

（3）先不妨設(shè)數(shù)列單調(diào)遞增，

當時，，，

，此時無解，不滿足題意；

當時，由得

，

，又，，代入原式得.

當時，，

而，矛盾，

所以不存在滿足題意的數(shù)列.

綜上，滿足題意的數(shù)列：.

所以對應的“新型數(shù)列”分別為：.