閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (Ⅱ)若的三個內(nèi)角滿足,試判斷的形狀.

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

 

【答案】

 (Ⅰ)見解析

(Ⅱ)勾股定理的逆定理知為直角三角形.

【解析】（1）寫出兩角和與差的余弦公式，兩式相減，類比已知條件整理可證結(jié)論；

（2）根據(jù)二倍角的正弦公式把分別用表示，再由正弦定理分別用表示，已知條件可轉(zhuǎn)化為.所以為直角三角形.也可以用（1）的結(jié)論化為角分析

解法一：(Ⅰ)證明:因為，------①

，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

,…………………………………8分

所以.…………………………………9分

設(shè)的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為，

由正弦定理可得.………………………………11分

根據(jù)勾股定理的逆定理知為直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式,可化為

，…………………………………8分

因為A,B,C為的內(nèi)角，所以，

所以.

又因為，所以,

所以.                                               

從而.……………………………………………9分

又,所以，故.……………………………………11分

所以為直角三角形.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
α+β=A，α-β=B 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（1）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（2）若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足cos2A+cox2C-cos2B=1，直接利用閱讀材料及（1）中的結(jié)論試判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ…③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=1-cos2C，試判斷△ABC的形狀．（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ） 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin220°+cos250°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（2012•福建模擬）閱讀下面材料：
根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=B有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）若△ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足cos2A-cos2B=2sin2C，試判斷△ABC的形狀．
（提示：如果需要，也可以直接利用閱讀材料及（Ⅰ）中的結(jié)論）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆浙江瑞安瑞祥高級中學(xué)高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

閱讀下面材料：根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

              ----------①

                  ------②

由①+② 得        ------③

令 有

代入③得 ．

（1）利用上述結(jié)論，試求的值。

（2）類比上述推證方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:;

 

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