閱讀下面材料:
根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
α+β=A,α-β=B 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+cosB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(1)類(lèi)比上述推理方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(2)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足cos2A+cox2C-cos2B=1,直接利用閱讀材料及(1)中的結(jié)論試判斷△ABC的形狀.
分析:(1)通過(guò)兩角和與差的余弦公式,令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
,即可證明結(jié)果.
(2)利用(1)中的結(jié)論和二倍角公式,cos2A-cos2B=2sin2C,以及A+B+C=π,推出2sinAcosB=0.∠B=
π
2
.得到△ABC為直角三角形.
解答:解:(1)證明:因?yàn)閏os(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,------①
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ②
①-②得cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ③…
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2
,
代入③得cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
..…(8分)
(2)由cos2A+cox2C-cos2B=1得:cos2A-cos2B=2sin2C.
由(1)中結(jié)論得:-2sin(A+B)sin(A-B)=2sin2C,
因?yàn)锳,B,C為△ABC的內(nèi)角,所以A+B+C=π,
所以-sin(A+B)sin(A-B)=sin2(A+B).
又因?yàn)?<A+B<π,所以sin(A+B)≠0,
所以sin(A+B)+sin(A-B)=0.
從而2sinAcosB=0.…(10分)
又因?yàn)閟inA≠0,所以cosB=0,即∠B=
π
2

所以△ABC為直角三角形.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查兩角和與差三角函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力,運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀下面材料:
根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有:
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ…②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ…③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)類(lèi)比上述推理方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(Ⅱ)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足cos2A-cos2B=1-cos2C,試判斷△ABC的形狀.(提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=β 有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+subB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ) 類(lèi)比上述推理方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(Ⅱ)求值:sin220°+cos250°+sin20°cos50°(提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:閱讀理解

(2012•福建模擬)閱讀下面材料:
根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ------③
令α+β=A,α-β=B有α=
A+B
2
,β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2

(Ⅰ)類(lèi)比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
;
(Ⅱ)若△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足cos2A-cos2B=2sin2C,試判斷△ABC的形狀.
(提示:如果需要,也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆浙江瑞安瑞祥高級(jí)中學(xué)高二下學(xué)期期中考試?yán)頂?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀下面材料:根據(jù)兩角和與差的正弦公式,有

              ----------①

                  ------②

由①+② 得        ------③

 有

代入③得

(1)利用上述結(jié)論,試求的值。

(2)類(lèi)比上述推證方法,根據(jù)兩角和與差的余弦公式,證明:;

 

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