Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），f（1）=-

a

2

，
（1）若f（x）＜1的解集為（0，3），求f（x）的表達(dá)式；
（2）若a＞0，求證：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)不等式的解集與方程的根的 關(guān)系求解可得．（2）分類討論①當(dāng)c=0時(shí)f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0，
②當(dāng)c＞0時(shí)f（0）•f（1）＜0，③當(dāng)c＜0時(shí)，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，結(jié)合根的存在性定理判斷．

解答： 解：f（1）=a+b+c=-

a

2

，
即b+c=-

3a

2

，
（1）由f（x）＜1的解集為（0，3），
∴-

b

a

=3，

c-1

a

=0，
即a=

2

3

，b=-2，c=1，
∴f（x）=

2

3

x²-2x+1，
（2）f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），
∵a＞0，∴f（1）=-

a

2

＜0，f（0）=c，b+c=-

3a

2

，
①當(dāng)c=0時(shí)f（2）=4a+2b=a＞0，即f（1）f（2）＜0，
②當(dāng)c＞0時(shí)f（0）•f（1）＜0，
③當(dāng)c＜0時(shí)，f（2）=4a+2b+c=a-c，＞0，f（1）•f（2）＜0，
根據(jù)根的存在性定理，結(jié)合①②③可得：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式，與函數(shù)的關(guān)系，分類討論求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，屬于中檔題．