Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ） 當a＝0時，求曲線f（x）在x ＝1處的切線方程；

（Ⅱ） 設函數(shù)，求函數(shù)h（x）的極值；

（Ⅲ） 若在[1，e]（e＝2．718 28…）上存在一點x0，使得成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）切線方程為 ；

（Ⅱ）當 時， 在 處取得極大值 ，無極小值；當 時， 在區(qū)間 上無極值；

（Ⅲ）或

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算，根據(jù)點斜式即可求出切線方程；（Ⅱ）求出的導數(shù)，通過討論的范圍，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅲ）問題轉化為函數(shù)在上，有，通過討論的范圍，得到函數(shù)的單調性，從而求出的范圍即可.

試題解析：（Ⅰ） 當a＝0時，f （x） ＝, f （1） ＝1, 則切點為（1, 1），分

∵, ∴切線的斜率為,

∴曲線f （x）在點（1, 1）處的切線方程為y1＝ （ x1），即x+ y2＝0

（Ⅱ）依題意，定義域為（0, +∞），

∴,

①當a+1＞0，即a＞1時，令，∵x＞0，∴0＜x＜1+ a,

此時，h（x） 在區(qū)間（0, a+1）上單調遞增，

令，得 x＞1+ a．

此時，h（x）在區(qū)間（a+1,+∞）上單調遞減．

②當a+1≤0，即a≤1時， 恒成立， h（x）在區(qū)間（0,+∞）上單調遞減．

綜上，當a＞1時，h（x）在x＝1+a處取得極大值h（1+a）＝，無極小值；

當a≤1時，h（x）在區(qū)間（0,+∞）上無極值．

（Ⅲ） 依題意知，在[1, e]上存在一點x0，使得成立,

即在[1, e]上存在一點x0，使得h（x0）≥0，

故函數(shù)在[1, e]上，有h（x）max≥0．

由（Ⅱ）可知，①當a+1≥e, 即a≥e1時，h（x）在[1, e]上單調遞增，

∴, ∴,

∵，∴．

②當0＜a+1≤1，或a≤1，即a≤0時，h（x）在[1, e]上單調遞減，

∴，∴a ≤2．

③當1＜a+1＜e，即0＜a＜e1時，

由（Ⅱ）可知，h（x）在x＝1+a處取得極大值也是區(qū)間（0, +∞）上的最大值，

即h（x）max＝h（1+a）＝，

∵0＜ln（a+1）＜1, ∴h（1+a）＜0在[1, e]上恒成立，

此時不存在x0使h（x0）≥0成立．

綜上可得，所求a的取值范圍是或a≤2．

【方法點晴】本題主要考查利用導數(shù)求曲線切線以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及極值值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數(shù)，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數(shù)不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.