Question

7．已知函數(shù)f（x）=3^x，g（x）=|x+a|-3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=f[g（x）]的圖象關(guān)于直線x=2對稱，求a的值；
（Ⅱ）給出函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函數(shù)h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函數(shù)y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是函數(shù)G（x）=|3^x+a|與y=3的交點(diǎn)，
分①當(dāng)0≤a＜3時(shí)；②當(dāng)a≥3時(shí)；③-3≤a＜0時(shí)；④當(dāng)a＜-3時(shí)，畫出圖象判斷個(gè)數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=f[g（x）]=3^|x+a|-3 的圖象關(guān)于直線x=2對稱，則h（4-x）=h（x）⇒|x+a|=|4-x+a|恒成立⇒a=-2；
（Ⅱ）函數(shù)y=g[f（x）]=|3^x+a|-3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，就是函數(shù)G（x）=|3^x+a|與y=3的交點(diǎn)，
①當(dāng)0≤a＜3時(shí)，G（x）=|3^x+a|=3^x+a與y=3的交點(diǎn)只有一個(gè)，即函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)（如圖1）；
②當(dāng)a≥3時(shí)，G（x）=|3^x+a|=3^x+a與y=3沒有交點(diǎn)，即函數(shù)y=g[f（x）]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)（如圖1）；
③-3≤a＜0時(shí)，G（x）=|3^x+a|與y=3的交點(diǎn)只有1個(gè)（如圖2）；
④當(dāng)a＜-3時(shí)，G（x）=|3^x+a|與y=3的交點(diǎn)有2個(gè)（如圖2）；
     
  

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)，把零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)是常用方法，屬于中檔題．