Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，對分成三種情況進(jìn)行分類討論，判斷出的極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）由（1）知，結(jié)合韋達(dá)定理求得的關(guān)系式，由此化簡的表達(dá)式為，通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此證得成立.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

得，

（i）當(dāng)時(shí)；，

因?yàn)?/span>時(shí)，時(shí)，，

所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn)；

（ii）若時(shí)，

若，即時(shí)，，

在是減函數(shù)，無極值點(diǎn).

若，即時(shí)，

有兩根，

不妨設(shè)

當(dāng)和時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，

綜上所述時(shí)，僅有一個(gè)極值點(diǎn)；

時(shí)，無極值點(diǎn)；時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)．

（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且是方程的兩根，

，則

所以

設(shè)，則，又，即，

所以

所以是上的單調(diào)減函數(shù)，

有兩個(gè)極值點(diǎn)，則