【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù).若對(duì)任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,則稱數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
【答案】
(1)解:∵數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,
∴ =anan+4
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別組成等比數(shù)列
設(shè)偶數(shù)項(xiàng)組成的等比數(shù)列的公比為q,
∵a2=8,a8=1,∴ ,∴q=
∴a2n=8× =24﹣n;
(2)解:由題設(shè)知,當(dāng)n≥8時(shí),an﹣6,an﹣3,an,an+3,an+6成等比數(shù)列;an﹣6,an﹣2,an+2,an+6也成等比數(shù)列.
從而當(dāng)n≥8時(shí),an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6,(*)且an﹣6an+6=an﹣2an+2.
所以當(dāng)n≥8時(shí),an2=an﹣2an+2,即
于是當(dāng)n≥9時(shí),an﹣3,an﹣1,an+1,an+3成等比數(shù)列,從而an﹣3an+3=an﹣1an+1,故由(*)式知an2=an﹣1an+1,
即 .
當(dāng)n≥9時(shí),設(shè) ,當(dāng)2≤m≤9時(shí),m+6≥8,從而由(*)式知am+62=amam+12,
故am+72=am+1am+13,從而 ,
于是 .
因此 對(duì)任意n≥2都成立.
因?yàn)? ,所以 ,
于是 .
故數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
【解析】(1)利用數(shù)列{an}是“J2”型數(shù)列,可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別組成等比數(shù)列,根據(jù)a2=8,a8=1,求出數(shù)列的公比,即可得到通項(xiàng);(2)由題設(shè)知,當(dāng)n≥8時(shí),an﹣6 , an﹣3 , an , an+3 , an+6成等比數(shù)列;an﹣6 , an﹣2 , an+2 , an+6也成等比數(shù)列,可得 ,進(jìn)而可得 , 對(duì)任意n≥2都成立,由此可得數(shù)列{an}為等比數(shù)列.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握等比數(shù)列可以通過(guò)定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線方程為,問(wèn):是否存在過(guò)點(diǎn)M(1,1)的直線l,使得直線與雙曲線交于P,Q兩點(diǎn),且M是線段PQ的中點(diǎn)?如果存在,求出直線的方程,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某廣場(chǎng)中間有一塊邊長(zhǎng)為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1百米的扇形,∠ABC= .管理部門(mén)欲在該地從M到D修建小路:在 上選一點(diǎn)P(異于M,N兩點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P修建與BC平行的小路PQ.
(1)若∠PBC= ,求PQ的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)點(diǎn)P選擇在何處時(shí),才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長(zhǎng)最?并說(shuō)明理由.
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【題目】已知 , 是非零不共線的向量,設(shè) = + ,定義點(diǎn)集M={K| = },當(dāng)K1 , K2∈M時(shí),若對(duì)于任意的r≥2,不等式| |≤c| |恒成立,則實(shí)數(shù)c的最小值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在正數(shù),使得(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C1: + =1,圓C2:x2+y2=t經(jīng)過(guò)橢圓C1的焦點(diǎn).
(1)設(shè)P為橢圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C2的切線,切點(diǎn)為Q,求△POQ面積的取值范圍,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn);
(2)過(guò)點(diǎn)M(﹣1,0)的直線l與曲線C1 , C2自上而下依次交于點(diǎn)A,B,C,D,若|AB|=|CD|,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在,使得成立,則稱函數(shù)為“可分拆函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)是否為“可分拆函數(shù)”?并說(shuō)明你的理由;
(2)設(shè)函數(shù)為“可分拆函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為k.
(1)求k的值;
(2)若a,b,c∈R, +b2=k,求b(a+c)的最大值.
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