Question

【題目】設數列{an}的各項均為正數．若對任意的n∈N* ， 存在k∈N* ， 使得an+k2=anan+2k成立，則稱數列{an}為“Jk型”數列．
（1）若數列{an}是“J2型”數列，且a2=8，a8=1，求a2n；
（2）若數列{an}既是“J3型”數列，又是“J4型”數列，證明：數列{an}是等比數列．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵數列{an}是“J2”型數列，

∴ =anan+4

∴數列{an}的奇數項、偶數項分別組成等比數列

設偶數項組成的等比數列的公比為q，

∵a2=8，a8=1，∴ ，∴q=

∴a2n=8× =24﹣n；

（2）解：由題設知，當n≥8時，an﹣6，an﹣3，an，an+3，an+6成等比數列；an﹣6，an﹣2，an+2，an+6也成等比數列．

從而當n≥8時，an2=an﹣3an+3=an﹣6an+6，（*）且an﹣6an+6=an﹣2an+2．

所以當n≥8時，an2=an﹣2an+2，即

于是當n≥9時，an﹣3，an﹣1，an+1，an+3成等比數列，從而an﹣3an+3=an﹣1an+1，故由（*）式知an2=an﹣1an+1，

即 ．

當n≥9時，設 ，當2≤m≤9時，m+6≥8，從而由（*）式知am+62=amam+12，

故am+72=am+1am+13，從而 ，

于是 ．

因此 對任意n≥2都成立．

因為 ，所以 ，

于是 ．

故數列{an}為等比數列．

【解析】（1）利用數列{an}是“J2”型數列，可得數列{an}的奇數項、偶數項分別組成等比數列，根據a2=8，a8=1，求出數列的公比，即可得到通項；（2）由題設知，當n≥8時，an﹣6 ， an﹣3 ， an ， an+3 ， an+6成等比數列；an﹣6 ， an﹣2 ， an+2 ， an+6也成等比數列，可得 ，進而可得 ， 對任意n≥2都成立，由此可得數列{an}為等比數列．
【考點精析】本題主要考查了等比關系的確定和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．