已知兩點，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為.
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標為1，直線PE、PF與圓（）相切于點E、F，又PE、PF與曲線C的另一交點分別為Q、R.
求△OQR的面積的最大值（其中點O為坐標原點）.
（Ⅰ）（）；（Ⅱ） .

試題分析：（Ⅰ）設點 的坐標為 則, ,化簡可得軌跡方程.
（Ⅱ）設出直線PE、PF的點斜式方程,分別求出它們與圓（）相切條件下與曲線C的另一交個交點Q、R.的坐標,寫出直線的方程,點到直線的距離公式可求的底邊上的高.進而得出面積的表達式,再探索用基本不等式求該式最值的方法.
試題解析：（Ⅰ）設點，       2分
整理得點M所在的曲線C的方程：（）        3分

（Ⅱ）由題意可得點P（）             4分
因為圓的圓心為（1，0），
所以直線PE與直線PF的斜率互為相反數(shù)           5分
設直線PE的方程為，
與橢圓方程聯(lián)立消去，得：
，         6分
由于1是方程的一個解，
所以方程的另一解為            7分
同理                        8分
故直線RQ的斜率為
=    9分
把直線RQ的方程代入橢圓方程，消去整理得
所以       10分
原點O到直線RQ的距離為              11分
   12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知曲線：.
（1）若曲線是焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍；
（2）設，過點的直線與曲線交于,兩點，為坐標原點，若為直角，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為且與雙曲線：有共同焦點.
（1）求橢圓的方程；
（2）在橢圓落在第一象限的圖像上任取一點作的切線，求與坐標軸圍成的三角形的面積的最小值；
（3）設橢圓的左、右頂點分別為，過橢圓上的一點作軸的垂線交軸于點，若點滿足，，連結交于點，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓兩焦點坐標分別為,，且經過點．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知點，直線與橢圓交于兩點．若△是以為直角頂點的等腰直角三角形，試求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓（）的右焦點為，離心率為.
（Ⅰ）若，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線與橢圓相交于，兩點，分別為線段的中點. 若坐標原點在以為直徑的圓上，且，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

給定橢圓C：，若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為．
(I)求橢圓C的方程；
(II)已知斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點Q滿足且=0，其中N為橢圓的下頂點，求直線在y軸上截距的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，在橢圓C上，A，B為橢圓C的左、右頂點．
(1)求橢圓C的方程：
(2)若P是橢圓上異于A，B的動點，連結AP，PB并延長，分別與右準線相交于M1，M2.問是否存在x軸上定點D，使得以M1M2為直徑的圓恒過點D?若存在，求點D的坐標：若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖平面直角坐標系中，橢圓的離心率，分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓的半徑為，過點作圓的切線，切點為，在軸的上方交橢圓于點．則       ．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知O為坐標原點，P是曲線：上到直線：距離最小的點，且直線OP是雙曲線： 的一條漸近線。則與的公共點個數(shù)是（  ）
A．2B．1
C．0D．不能確定，與、的值有關

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