Question

過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)F₁且與雙曲線(xiàn)的實(shí)軸垂直的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)的虛軸所在直線(xiàn)上存在一點(diǎn)C，使

AC

•

BC=

0，求雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），依題意知當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，∠AOF₁≥45°，利用tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，即可求得雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍．

解答： 解：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），
∵雙曲線(xiàn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且直線(xiàn)AB⊥x軸，設(shè)左焦點(diǎn)F₁（-c，0），則A（-c，

b2

a

），B（-c，-

b2

a

），
∵△ABC為直角三角形，
依題意知，當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大，
∴∠AOF₁≥45°，
∴tan∠AOF₁=

|FA|

|OF|

=

b2 a

c

=

b2

ac

=

c2-a2

ac

≥1，
整理得：(

c

a

)2-

c

a

-1≥0，即e²-e-1≥0，
解得：e≥

1+ 5

2

．
即雙曲線(xiàn)離心率e的取值范圍為[

1+ 5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，分析得到當(dāng)點(diǎn)C在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，∠ACB最大是關(guān)鍵，得到∠AOF₁≥45°是突破口，屬于中檔題．