Question

（14分）已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）判斷當時，的大小，并證明．

Answer 1

（1）．
（2）．證明見解析。

(I)設公共點為,然后利用導數(shù)求出此點處的切線，根據(jù)切線重合.解出切點的橫坐標，從而可找到b關于a的表達式.然后再利用導數(shù)研究其最值即可.
（2）本小題可構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)研究其最值，從而比較出f(x)與g(x)的大小關系.
（1）設與在公共點處的切線相同．
，，由題意，．
即由得：，或（舍去）．
即有．
令，則．于是
當，即時，；當，即時，．
故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
于是在的最大值為．
（2）設，
則．
故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，
于是函數(shù)在上的最小值是.
故當時，有，即當時，．