【題目】如圖,三棱柱中,M,N分別為的中點(diǎn).

(1)證明:直線MN//平面CAB1;

(2)若四邊形ABB1A1是菱形,且, ,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)余弦值為.

【解析】試題分析:

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得,利用線面平行的判定定理可證得直線MN//平面CAB1

(2)結(jié)合幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系,利用半平面的法向量可求得平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為.

試題解析:

(1)設(shè)交于點(diǎn),連接,

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形,所以是的中點(diǎn),

的中點(diǎn),所以.

又因?yàn)?/span>的中點(diǎn),所以.

所以,所以四邊形是平行四邊形,

所以.

又因?yàn)?/span>平面,平面

所以直線平面.

(2)因?yàn)槠叫兴倪呅?/span>是菱形,所以.

又因?yàn)?/span>,所以.又的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?/span>,所以,所以,故,從而兩兩垂直. 以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,

, ,

因?yàn)?/span>兩兩垂直,所以平面,

所以是平面的一個(gè)法向量;

設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,即,

,得,所以

所以

所以平面和平面所成的角(銳角)的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
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【題目】數(shù)列為遞增的等比數(shù)列, ,

數(shù)列滿足

(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求證: 是等差數(shù)列;

(Ⅲ)設(shè)數(shù)列滿足,且數(shù)列的前項(xiàng)和,并求使得對任意都成立的正整數(shù)的最小值.

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【題目】已知橢圓過點(diǎn),過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(不重合),證明:直線和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值.

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【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,值域?yàn)?/span>,即,若,則稱上封閉.

1)分別判斷函數(shù), 上是否封閉,說明理由;

2)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且存在反函數(shù),若函數(shù)上封閉,且函數(shù)上也封閉,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,對任意,若,有恒成立,則稱上是單射,已知函數(shù)上封閉且單射,并且滿足 ,其中),,證明:存在的真子集,

,使得在所有)上封閉.

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【題目】在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,曲線C的方程為;以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,斜率為的直線l經(jīng)過點(diǎn)M

(I)求直線l和曲線C的直角坐標(biāo)方程:

(II)P為曲線C上任意一點(diǎn),直線l和曲線C相交于AB兩點(diǎn),求△PAB面積的最大值.

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【題目】近年來,我國“霧霾天氣”頻發(fā),嚴(yán)重影響人們的身體健康.根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API(為整數(shù))的不同,可將空氣質(zhì)量分級如下表:

API

0~50

51~100

101~150

151~200

201~250

251~300

>300

級別

1

2

1

2

狀況

優(yōu)

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重污染

重度污染

對某城市一年(365天)的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測,獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間[0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]進(jìn)行分組,得到頻率分布直方圖如圖.

(1)求頻率分布直方圖中x的值;

(2)計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù).

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【題目】如圖,已知多面體的底面是邊長為的菱形, 底面, ,且

1證明:平面平面;

2若直線與平面所成的角為,求二面角

的余弦值.

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【題目】如圖,在四棱錐中,為正三角形,,,,平面.

)點(diǎn)在棱上,試確定點(diǎn)的位置,使得平面;

)求二面角的余弦值.

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【題目】今有一組數(shù)據(jù)如下表:

1

2

3

4

5

6

4

5

6

7

8

9

90

84

83

m

75

68

由最小二乘法求得點(diǎn) 的回歸直線方程是,其中.

(Ⅰ)求m的值,并求回歸直線方程;

(Ⅱ)設(shè),我們稱為點(diǎn)的殘差,記為.

從所給的點(diǎn) 中任取兩個(gè),求其中有且只有一個(gè)點(diǎn)的殘差絕對值不大于1的概率.

參考公式: .

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