【題目】已知,其中.
(1)若,且曲線在處的切線過原點,求直線的方程;
(2)求的極值;
(3)若函數(shù)有兩個極值點, ,證明.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)見解析
(Ⅲ)見解析.
【解析】試卷分析:(Ⅰ)當a=0時,求得f(x)的解析式和導數(shù),可得切線的斜率和切點,由點斜式方程可得切線的方程;(Ⅱ)求得f(x)的導數(shù),可得有兩個不同的實根,討論當a≤0時,當a>0時,判斷單調(diào)性可得極大值大于0,解不等式即可得到所求范圍;(Ⅲ)由(Ⅱ)知當且時,有兩個極值點,, ,構(gòu)造函數(shù)對不等式進行證明;
試卷解析:
(Ⅰ)當時,,,
所以切線的斜率,又直線過原點,所以,
由得,.
所以,故切線的方程為,即.
(Ⅱ)由 ,可得,
①當時 , ,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
在時取到極小值,且,沒有極大值;
②當時 或, .在,上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,在時取到極大值,
且,在時取到極小值,且;
③當時恒成立,在上單調(diào)遞增,沒有極大值也沒有極小值;
④當時 或, ,在,上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減,在時取到極小值,且.在時取到極大值,且.
綜上可得,當時,在時取到極小值,沒有極大值;
當時,在時取到極大值,在時取到極小值;
當時,沒有極大值也沒有極小值;當時,在時取到極小值.
在時取到極大值.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知當且時,有兩個極值點,,
且 .
所以 ,
設,則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
由且可得,所以 ,
即 .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知集合,若對于任意,存在,使得成立,則稱集合是“好集合”.給出下列4個集合:①;②;③;④.其中為“好集合”的序號是( )
A. ①②④ B. ②③ C. ③④ D. ①③④
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ka﹣x(k,a為常數(shù),a>0且a≠1)的圖象過點A(0,1),B(3,8).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)g(x)= 是奇函數(shù),求b的值;
(3)在(2)的條件下判斷函數(shù)g(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣1與x=2處都取得極值. (Ⅰ)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對x∈[﹣2,3],不等式f(x)+ c<c2恒成立,求c的取值范圍.
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【題目】經(jīng)濟學中,函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)M(x)定義為M(x)=f(x+1)﹣f(x),利潤函數(shù)p(x)邊際利潤函數(shù)定義為M1(x)=p(x+1)﹣p(x),某公司最多生產(chǎn) 100 臺報系統(tǒng)裝置,生產(chǎn)x臺的收入函數(shù)為R(x)=3000x﹣20x2(單位:元),其成本函數(shù)為C(x)=500x+4000x(單位:元),利潤是收入與成本之差.
(1)求利潤函數(shù)p(x)及邊際利潤函數(shù)M1(x);
(2)利潤函數(shù)p(x)與邊際利潤函數(shù)M1(x)是否具有相等的最大值?
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【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)是奇函數(shù),當x≥0時,f(x)=|x﹣a2|﹣a2 , 且對x∈R,恒有f(x﹣2)<f(x),則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=( )x .
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)在所給坐標系中畫出函數(shù)f(x)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】要得到y(tǒng)= cos2x+sinxcosx的圖象,只需把y=sin2x的圖象上所有點( )
A.向左平移 個單位,再向上移動 個單位
B.向左平移 個單位,再向上移動 個單位
C.向右平移 個單位,再向下移動 個單位
D.向右平移 個單位,再向下移動 個單位
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設關(guān)于x的一元二次方程x2+ax﹣ +1=0.
(1)若a是從1,2,3這三個數(shù)中任取的一個數(shù),b是從0,1,2這三個數(shù)中任取的一個數(shù),求上述方程中有實根的概率;
(2)若a是從區(qū)間[0,3]中任取的一個數(shù),b是從區(qū)間[0,2]中任取的一個數(shù),求上述方程有實根的概率.
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