Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，（其中a＞0），點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））從左到右依次是函數(shù)y=f（x）圖象上三點，且2x₂=x₁+x₃．
（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；
（Ⅱ）求證：△ABC是鈍角三角形；
（Ⅲ）試問△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面積的最大值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，欲證函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，只須證明其導(dǎo)數(shù)f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）先設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，欲證：△ABC是鈍角三角形，只須證明其中一個內(nèi)角為鈍角即可，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，只須證明：即得；
（Ⅲ）假設(shè)△ABC為等腰三角形，則只能是，再利用平面內(nèi)兩點的距離公式將點的坐標(biāo)代入計算，如出現(xiàn)矛盾，則△ABC不可能為等腰三角形，如不矛盾，則△ABC能是等腰三角形．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=aln（1+e^x）-（a+1）x，∴恒成立，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．（3分）
（Ⅱ）證明：據(jù)題意A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））且x₁＜x₂＜x₃，
由（Ⅰ）知f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），x₂=（4分）
可得A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃））三點不共線
（反證法：否則，得x₁=x₃）
∴
∴（6分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴，∴
即△ABC是鈍角三角形（8分）
（Ⅲ）假設(shè)△ABC為等腰三角形，則只能是
即：（x₁-x₂）²+[f（x₁）-f（x₂）]²=（x₃-x₂）²+[f（x₃）-f（x₂）]²∵x₂-x₁=x₃-x₂∴[f（x₁）-f（x₂）]²=[f（x₃）-f（x₂）]²
即2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃）①（11分）
而事實上，②
由于，故（2）式等號不成立．這與（1）式矛盾．
所以△ABC不可能為等腰三角形．（13分）
點評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)量積表示兩個向量的夾角、兩點間距離公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．