Question

已知函數f（x）=2x²-10x，（x∈R），問是否存在自然數m，使得方程f(x)+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內有且僅有兩個不等的實數解？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：依題意，將f（x）+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內有且僅有兩個不等的實數解轉化為2x³-10x²+37=0在（m，m+1）內有且僅有兩個不等的實數根，通過導數可分析得方程h（x）=0在（3，

10

3

），（

10

3

，4）內分別有唯一實數根，而在（0，3），（4，+∞）內沒有實數根，從而可得答案．

解答：解：依題意，問題等價于方程2x³-10x²+37=0在（m，m+1）內有且僅有兩個不等的實數根，
令h（x）=2x³-10x²+37，
h′（x）=6x²-20x=6x（x-

10

3

），
當x∈（0，

10

3

）時，h′（x）＜0，h（x）在區(qū)間（0，

10

3

）上單調遞減；
當x∈（

10

3

，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）在區(qū)間（

10

3

，+∞）上單調遞增；…4分
由于h（3）=1＞0，h（

10

3

）=-

1

27

＜0，h（4）=5＞0，…7分
所以方程h（x）=0在（3，

10

3

），（

10

3

，4）內分別有唯一實數根，而在（0，3），（4，+∞）內沒有實數根…10分
所以存在唯一自然數m=3使得方程f（x）+

37

x

=0在區(qū)間（m，m+1）內有且僅有兩個不等的實數解．…12分

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查根的存在性及根的個數判斷，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用，屬于難題．