Question

5．已知橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$短軸長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$，左、右頂點(diǎn)分別為A、B，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，且AF：FB=1：3，經(jīng)過(guò)F的直線(xiàn)l與橢圓M交于C、D兩點(diǎn)．           
（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）記△ABD、△ABC的面積分別為S₁、S₂，當(dāng)|S₁-S₂|=$\frac{3}{2}$時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=$\sqrt{3}$，（a-c）：（a+c）=1+3，再由a，b，c的關(guān)系，可得a=2，即可得到橢圓方程；
（2）討論直線(xiàn)的斜率不存在和存在，設(shè)為y=k（x+1）（k≠0），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由三角形的面積公式可得|S₁-S₂|=$\frac{1}{2}$|AB|•||y₁|-|y₂||=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{3}{2}$，解方程，即可得到k，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程．

解答 解：（1）由題意可得b=$\sqrt{3}$，（a-c）：（a+c）=1+3，
即有a=2c，a²-3=c²，解得a=2，c=1，
則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）當(dāng)直線(xiàn)l無(wú)斜率時(shí)，直線(xiàn)為x=-1，
此時(shí)C（-1，-$\frac{3}{2}$），D（-1，$\frac{3}{2}$）
△ABD與△ABC面積相等，|S₁-S₂|=0不成立；                           
當(dāng)直線(xiàn)l斜率存在時(shí)，顯然k≠0，
設(shè)直線(xiàn)為y=k（x+1）（k≠0）
聯(lián)立橢圓方程得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
顯然△＞0，且x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，
此時(shí)|S₁-S₂|=$\frac{1}{2}$|AB|•||y₁|-|y₂||=2|y₁+y₂|=2|k（x₁+1）+k（x₂+1）|
=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
解得k=±$\frac{1}{2}$或±$\frac{3}{2}$，
即有直線(xiàn)l的方程為y=±$\frac{1}{2}$（x+1）或y=±$\frac{3}{2}$（x+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算量較大．