Question

【題目】2020年寒假期間，某高中決定深入調(diào)查本校學(xué)生寒假期間在家學(xué)習(xí)情況，并將依據(jù)調(diào)查結(jié)果對(duì)相應(yīng)學(xué)生提出針對(duì)性學(xué)習(xí)建議．現(xiàn)從本校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中分別隨機(jī)選取30，45，75人，然后再?gòu)倪@些學(xué)生中抽取10人，進(jìn)行學(xué)情調(diào)查．

（1）若采用分層抽樣抽取10人，分別求高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)．

（2）若被抽取的10人中，有6人每天學(xué)時(shí)超過(guò)7小時(shí)，有4人每天學(xué)時(shí)不足4小時(shí)，現(xiàn)從這10人中，再隨機(jī)抽取4人做進(jìn)一步調(diào)查．

（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，求事件A發(fā)生的概率；

（ii）用ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1）高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)分別為2人，3人，5人；（2）（i）；（ii）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）總數(shù)為30+45+75=150，從這些學(xué)生中抽取10人，根據(jù)分層抽樣法求出高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)即可；

（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，則由P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)，求出概率即可；

（ii）隨機(jī)變量ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，則ξ＝0，1，2，3，4，求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望即可．

（1）從本校高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中分別隨機(jī)選取30，45，75人，

30+45+75=150，

從這些學(xué)生中抽取10人，根據(jù)分層抽樣法，高一應(yīng)抽取102人，高二應(yīng)抽取10人，高三應(yīng)抽取10人，

故高一、高二、高三應(yīng)抽取的人數(shù)分別為2人，3人，5人；

（2）（i）記事件A為“被抽取的4人中至多有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件B為“被抽取的4人中恰有1人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，記事件C為“被抽取的4人中恰有0人學(xué)時(shí)不足4小時(shí)”，則P(A)＝P(B∪C)＝P(B)+P(C)；

（ii）隨機(jī)變量ξ表示被抽取的4人中學(xué)時(shí)不足4小時(shí)的人數(shù)，則ξ＝0，1，2，3，4，

則，，

，，

，

隨機(jī)變量ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3	4
P

E(ξ)．