Question

已知命題p：1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]恒成立，命題q：?x∈R，ax²-x+a＞0．若命題p或q為真，命題p且q為假，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,復(fù)合命題的真假

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡易邏輯

分析：根據(jù)不等式恒成立的條件，分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用復(fù)合命題之間的關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)a的范圍．

解答： 解：命題p：1-a•2^x≥0在x∈（-∞，0]上恒成立．
即：a≤(

1

2

)x在x∈（-∞，0]上恒成立．
∵（

1

2

）^x≥1，x∈（-∞，0]
∴a≤1，
即命題p：a≤1．
命題q：?x∈R，ax²-x+a＞0．
顯然當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意，
則：

a＞0 (-1)2-4a2＜0

，
即a＞

1

2

．
∴命題q：a＞

1

2

，
∵p或q為真，p且q為假
∴p和q一真一假，
∴

a≤1 a≤ 1 2

或

a＞1 a＞ 1 2

，
即a≤

1

2

或a＞1，
∴a的取值范圍為：a≤

1

2

或a＞1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡單命題之間的關(guān)系，利用不等式恒成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．