Question

12．設(shè)a為大于1的常數(shù)，函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_a}x，x＞0\\{a^x}，x≤0\end{array}$，若關(guān)于x的方程f²（x）-bf（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． 0＜b≤1
• B． 0＜b＜1
• C． 0≤b≤1
• D． b＞1

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=0或f（x）=b，從而可得f（x）=b在（-∞，0]上必須有且只有一個(gè)解，從而解得．

解答 解：f²（x）-bf（x）=f（x）（f（x）-b）=0，
∴f（x）=0或f（x）=b，
由f（x）=0解得，x=1；
若x＞0，則由f（x）=b解得，
x=a^b，
又∵關(guān)于x的方程f²（x）-bf（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴f（x）=b在（-∞，0]上必須有且只有一個(gè)解，
又∵x∈（-∞，0]時(shí)，a^x∈（0，1]；
故0＜b≤1；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．