【題目】已知橢圓.點(diǎn)E為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)F在橢圓上且與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則點(diǎn)E,F到直線x+y-1=0的距離之和的最大值是________;此時四邊形AEBF的面積是________.
【答案】
【解析】
根據(jù)題意,設(shè)出兩點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)到直線的距離公式,求得距離之和的表達(dá)式,結(jié)合點(diǎn)在橢圓上坐標(biāo)滿足橢圓方程,利用柯西不等式即可求得距離之和的最大值;聯(lián)立橢圓方程和,求得兩點(diǎn)坐標(biāo),即可求得,則四邊形的面積可得.
根據(jù)題意,作圖如下:
不妨設(shè),則,
故到直線的距離之和
因?yàn)辄c(diǎn)是橢圓上位于第一象限的點(diǎn),根據(jù)直線劃分平面,以及點(diǎn)位于直線的右上側(cè),
故可得:,且,
則.
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,故,
由柯西不等式可得:,
即,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號.
故;
聯(lián)立橢圓方程與直線方程,
可得,解得,
故可得.
故四邊形的面積.
故答案為:;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè),若,恒有成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,為過焦點(diǎn)且垂直于軸的拋物線的弦,已知以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值及該圓的方程;
(2)設(shè)為上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作的切線,切點(diǎn)為,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=axlnx﹣x2﹣ax+1(a∈R)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點(diǎn).
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)兩個極值點(diǎn)分別為x1,x2,x1<x2,證明:f(x1)+f(x2)<2﹣x12+x22.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了貫徹落實(shí)黨中央對新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求,堅決防范疫情向校園蔓延,切實(shí)保障廣大師生身體健康和生命的安全,教育主管部門決定通過電視頻道、網(wǎng)絡(luò)平臺等多種方式實(shí)施線上教育教學(xué)工作.為了了解學(xué)生和家長對網(wǎng)課授課方式的滿意度,從經(jīng)濟(jì)不發(fā)達(dá)的A城市和經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)的B城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如下:
若評分不低于80分,則認(rèn)為該用戶對此授課方式“認(rèn)可”,否則認(rèn)為該用戶對此授課方式“不認(rèn)可”.以該樣本中A,B城市的用戶對此授課方式“認(rèn)可”的頻率分別作為A,B城市用戶對此授課方式“認(rèn)可”的概率.現(xiàn)從A城市和B城市的所有用戶中分別隨機(jī)抽取2個用戶,用表示這4個用戶中對此授課方式“認(rèn)可”的用戶個數(shù),則__________;用表示從A城市隨機(jī)抽取2個用戶中對此授課方式“認(rèn)可”的用戶個數(shù),則的數(shù)學(xué)期望為_________ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C:過原點(diǎn)的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),過點(diǎn)A作x軸的垂線,垂足為點(diǎn),設(shè)直線BE與橢圓的另一交點(diǎn)為P,連接AP得到直線l,交x軸于點(diǎn)M,交y軸于點(diǎn)N.
(1)若,求直線AP的斜率;
(2)記的面積分別為S1,S2,S3,求的的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列中前兩項(xiàng)給定,若對于每個正整數(shù),均存在正整數(shù)()使得,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(1)若數(shù)列為的等比數(shù)列,當(dāng)時,試問:與是否相等,并說明數(shù)列是否為“數(shù)列”;
(2)討論首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列是否為“數(shù)列”,并說明理由;
(3)已知數(shù)列為“數(shù)列”,且 ,記,,其中正整數(shù), 對于每個正整數(shù),當(dāng)正整數(shù)分別取1、2、、時的最大值記為、最小值記為. 設(shè),當(dāng)正整數(shù)滿足時,比較與的大小,并求出的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上存在正的極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)n為正整數(shù),集合A=,,,,,.對于集合A中的任意元素和,記.
(Ⅰ)當(dāng)n=3時,若,,求和的值;
(Ⅱ)當(dāng)時,對于中的任意兩個不同的元素,,證明:.
(Ⅲ)給定不小于2的正整數(shù)n,設(shè)B是A的子集,且滿足:對于B中的任意兩個不同元素,,.寫出一個集合B,使其元素個數(shù)最多,并說明由.
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