Question

18．△ABC中，AB=8，AC=6，M為BC的中點，O為△ABC的外心，$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=25．

Answer 1

分析 如圖所示，過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，則D，E分別為AB，AC的中點．可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=32，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=18．又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，代入計算即可得出．

解答 解：如圖所示，
過點O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，
則D，E分別為AB，AC的中點．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^{2}$=32，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=18．
又$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AO}•\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$
=16+9
=25．
故答案為：25．

點評 本題考查了三角形外心的性質(zhì)、垂經(jīng)定理、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．