【題目】如圖,四邊形為正方形,
平面
,
,
.試結(jié)合向量法:(1)證明:平面
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2) .
【解析】試題分析:首先根據(jù)題意以為坐標原點,線段
的長為單位長,射線
為
軸正半軸建立空間直角坐標系
;(1)根據(jù)坐標系,求出
、
、
的坐標,由向量積的運算易得
,
,進而可得
,
,由面面垂直的判定,即可證明;(2)依題意結(jié)合坐標系,可得
、
、
的坐標,進而求出平面
與平面
的法向量,根據(jù)二面角與其法向量夾角的關(guān)系,即可得答案.
試題解析:如圖,以為坐標原點,線段
的長為單位長,射線
為
軸正半軸建立空間直角坐標系
.
(1)證明:依題意有,
,
,則
,
,
.
∴,
,即
,
.
∴平面
又∵平面
,
∴平面平面
(2)依題意有,
,
設(shè)是平面
的法向量,則
,即
∴可取
設(shè)是平面
的法向量,則
可取
∴,則二面角
的余弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,橢圓C: =1(a>b>0)過點P(1,
).離心率為
.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點.
①若直線l過橢圓C的右焦點,記△ABP三條邊所在直線的斜率的乘積為t.
求t的最大值;
②若直線l的斜率為,試探究OA2+ OB2是否為定值,若是定值,則求出此
定值;若不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,已知矩形的長為2,寬為1,
.
邊分別在
軸.
軸的正半軸上,
點與坐標原點重合(如圖所示)。將矩形折疊,使
點落在線段
上。
(1)若折痕所在直線的斜率為,試求折痕所在直線的方程;
(2)當(dāng)時,求折痕長的最大值;
(3)當(dāng)時,折痕為線段
,設(shè)
,試求
的最大值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三年級進行了一次學(xué)業(yè)水平測試,用系統(tǒng)抽樣的方法抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,準備進行分析和研究.經(jīng)統(tǒng)計,成績的分組及各組的頻數(shù)如下: ,2;
,3;
,10;
15; ,12;
,8.
(1)完成樣本的頻率分布表,畫出頻率分布直方圖;
(2)估計成績在85分以下的學(xué)生比例;
(3)請你根據(jù)以上信息去估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(精確到0.01).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位: ).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布
.
(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在
之外的零件數(shù),求
及
的數(shù)學(xué)期望;
(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.
(。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;
(ⅱ)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
經(jīng)計算得,其中
為
抽取的第個零件的尺寸,
.
用樣本平均數(shù)作為
的估計值
,用樣本標準差
作為
的估計值
,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查?剔除
之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計
和
(精確到0.01).
附:若隨機變量服從正態(tài)分布
,則
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的三邊,a2﹣(b﹣c)2=bc,
(1)求角A;
(2)若BC=2 ,角B等于x,周長為y,求函數(shù)y=f(x)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高二某班50名學(xué)生在一次百米測試中,成績?nèi)慷冀橛?3秒到18秒之間,將測試結(jié)果按如下方式分成五組,第一組,第二組
,…,第五組
,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.
(1)請根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.1);
(2)從成績介于和
兩組的人中任取2人,求兩人分布來自不同組的概率.
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