Question

已知函數(shù)：f(x)=

a

3

x3+(a+3)x+1．
（1）當(dāng)a=-3時(shí)，求過(guò)點(diǎn)（1，0）曲線y=f（x）的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)是否存在極值？若有，則求出極值點(diǎn)；若沒(méi)有，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=-x³+1，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在（1，0）處的切線的斜率k=f′（1），可求切線方程
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=ax²+（a+3），結(jié)合a的范圍可確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（3）由（2）可求函極小值，極大值的存在情況

解答：解：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）=-x³+1
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=-3x²
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，曲線在（1，0）處的切線的斜率k=f′（1）=-3
∴過(guò)點(diǎn)（1，0）曲線y=f（x）的切線方程為y=-3（x-1）即3x+y-3=0
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=ax²+（a+3），
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞增
②當(dāng)a≤-3時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
③當(dāng)-3＜a＜0，由f′（x）＞0，可得-

a+3 -a

＜x＜

a+3 a

，即f（x）在（-

a+3 -a

，+

a+3 -a

）單調(diào)遞增；
f′（x）≤0，f（x）在（-∞，-

a+3 -a

]，[

a+3 -a

+∞）單調(diào)遞減
（3）由（2）得，當(dāng)-3＜a＜0，函數(shù)在x=-

a+3 -a

存在極小值，在x=

a+3 -a

存在極大值

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的集合意義的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的極大與極小值的求解中的應(yīng)用