Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣ax+ ，其中a＞0．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ， n≥2）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）= ，令h（x）=﹣ax2+x﹣a，
記△=1﹣4a2 ， 當(dāng)△≤0時(shí)，得a≥ ，
若a≥ ，則﹣ax2+x﹣a≤0，f′（x）≤0，
此時(shí)函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減，
當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，由﹣ax2+x﹣a=0，解得：x1= ，x2= ，
顯然x1＞x2＞0，故此時(shí)函數(shù)f（x）在（ ， ）遞增，
在（0， ）和（ ，+∞）遞減；
綜上，0＜a＜ 時(shí)，函數(shù)f（x）在（ ， ）遞增，
在（0， ）和（ ，+∞）遞減，
a≥ 時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）遞減；
（Ⅱ）證明：令a= ，由（Ⅰ）中討論可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）遞減，
又f（1）=0，從而當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，有f（x）＜0，即lnx＜ x﹣ ，
令x=1+ （n≥2），
則ln（1+ ）＜ （1+ ）﹣ =
= （ + ）＜ = （ ﹣ ），
從而：ln（1+ ）+ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）
＜ （1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣ + ﹣ ）
= （1+ ﹣ ﹣ ）＜ （1+ ）= ，
則有l(wèi)n（1+ ）+ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）＜ ，
可得（1+ ）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e （n∈N* ， n≥2）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）求出lnx＜ x﹣ ，令x=1+ （n≥2），得到ln（1+ ）＜ （ ﹣ ），累加即可證明結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．