【題目】如圖,在三棱柱ABC-中,平面ABC,D,E,F,G分別為,AC,,的中點(diǎn),AB=BC=,AC==2.
(Ⅰ)求證:AC⊥平面BEF;
(Ⅱ)求二面角B-CD-C1的余弦值;
(Ⅲ)證明:直線FG與平面BCD相交.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2) B-CD-C1的余弦值為
(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析
【解析】分析:(1)由等腰三角形性質(zhì)得,由線面垂直性質(zhì)得,由三棱柱性質(zhì)可得,因此,最后根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論,(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系E-ABF,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組解得平面BCD一個(gè)法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求得兩法向量夾角,再根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果,(3)根據(jù)平面BCD一個(gè)法向量與直線FG方向向量數(shù)量積不為零,可得結(jié)論.
詳解:解:(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
∵CC1⊥平面ABC,
∴四邊形A1ACC1為矩形.
又E,F分別為AC,A1C1的中點(diǎn),
∴AC⊥EF.
∵AB=BC.
∴AC⊥BE,
∴AC⊥平面BEF.
(Ⅱ)由(I)知AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1.
又CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.
∵BE平面ABC,∴EF⊥BE.
如圖建立空間直角坐稱系E-xyz.
由題意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).
∴,
設(shè)平面BCD的法向量為,
∴,∴,
令a=2,則b=-1,c=-4,
∴平面BCD的法向量,
又∵平面CDC1的法向量為,
∴.
由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角,所以二面角B-CD-C1的余弦值為.
(Ⅲ)平面BCD的法向量為,∵G(0,2,1),F(0,0,2),
∴,∴,∴與不垂直,
∴GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi),∴GF與平面BCD相交.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px過(guò)點(diǎn)P(1,1).過(guò)點(diǎn)(0, )作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).
(Ⅰ)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)求證:A為線段BM的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司需要對(duì)所生產(chǎn)的三種產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè),三種產(chǎn)品數(shù)量(單位:件)如下表所示:
產(chǎn)品 | A | B | C |
數(shù)量(件) | 180 | 270 | 90 |
采用分層抽樣的方法從以上產(chǎn)品中共抽取6件.
(1)求分別抽取三種產(chǎn)品的件數(shù);
(2)將抽取的6件產(chǎn)品按種類編號(hào),分別記為,現(xiàn)從這6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件.
(ⅰ)用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果;
(ⅱ)求這兩件產(chǎn)品來(lái)自不同種類的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[2018·郴州期末]已知三棱錐中,垂直平分,垂足為,是面積為的等邊三角形,,,平面,垂足為,為線段的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求與平面所成的角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】AB為過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦,P為AB中點(diǎn),A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q,則下列命題: 以AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線l相交;;;;、O、N三點(diǎn)共線為原點(diǎn),正確的是______ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線C:=2px經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).過(guò)點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y軸于N.
(Ⅰ)求直線l的斜率的取值范圍;
(Ⅱ)設(shè)O為原點(diǎn),,,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2,設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
求曲線C的方程;
若直線與曲線C和圓從左至右的交點(diǎn)依次為A,B,C,D求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)存溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系 (k,m為常數(shù)).若該食品在0的保鮮時(shí)間是64小時(shí),在18的保鮮時(shí)間是16小時(shí),則該食品在36的保鮮時(shí)間是( )
A.4小時(shí)B.8小時(shí)C.16小時(shí)D.32小時(shí)
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