【題目】已知是定義在上的奇函數(shù),且.若對(duì)任意的, 都有.
(1)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明: 在定義域上為增函數(shù);
(2)若,求的取值范圍;
(3)若不等式對(duì)所有的 和都恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2);(3).
【解析】試題分析:(1)任取,作差,可證明從而可得結(jié)果;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合函數(shù)的定義域,列出關(guān)于的不等式組,解不等式組即可得結(jié)果;(3)不等式恒成立等價(jià)于,即對(duì)任意恒成立,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.
試題解析:(1)設(shè), ,
,∴在上為增函數(shù).
(2) 在單調(diào)遞增,
.
(3)要使對(duì)任意恒成立,只要在即可,由(1)知在單調(diào)遞增, , , 對(duì)任意恒成立,令,只要且即可, 且.
【方法點(diǎn)晴】本題主要考查抽象函數(shù)的定義域、抽象函數(shù)的單調(diào)性及抽象函數(shù)解不等式,屬于難題.根據(jù)抽象函數(shù)的單調(diào)性解不等式應(yīng)注意以下三點(diǎn):(1)一定注意抽象函數(shù)的定義域(這一點(diǎn)是同學(xué)們?nèi)菀资韬龅牡胤,不能掉以輕心);(2)注意應(yīng)用函數(shù)的奇偶性(往往需要先證明是奇函數(shù)還是偶函數(shù));(3)化成 后再利用單調(diào)性和定義域列不等式組.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義域?yàn)?/span>,對(duì)任意都有,且當(dāng)時(shí), .
(1)試判斷的單調(diào)性,并證明;
(2)若,
①求的值;
②求實(shí)數(shù)的取值范圍,使得方程有負(fù)實(shí)數(shù)根.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+x+b>0的解集為(-∞,-2)∪(1,+∞).
(Ⅰ)求a和b的值;
(Ⅱ)求不等式ax2-(c+b)x+bc<0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極小值;
(Ⅱ)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為:,當(dāng)時(shí),若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)時(shí),試問(wèn)函數(shù)是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”?若存在,求出轉(zhuǎn)點(diǎn)的橫坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線焦點(diǎn)為,點(diǎn)A,B,C為該拋物線上不同的三點(diǎn),且滿足.
(1)求;
(2)若直線交軸于點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列,且, , .
(Ⅰ)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在投擲骰子試驗(yàn)中,根據(jù)向上的點(diǎn)數(shù)可以定義許多事件,如:A={出現(xiàn)1點(diǎn)},B={出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)},C={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)},D={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)}.
(1)說(shuō)明以上4個(gè)事件的關(guān)系.
(2)求兩兩運(yùn)算的結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人。為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按照性別分為男、女兩組,再將兩組的分?jǐn)?shù)分成5組: 分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖。
(I)從樣本分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰為一男一女的概率;
(II)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?
附表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司有五輛汽車,其中兩輛汽車的車牌尾號(hào)均為1. 兩輛汽車的車牌尾號(hào)均為2, 車的車牌尾號(hào)為6,已知在非限行日,每輛車可能出車或不出車, 三輛汽車每天出車的概率均為, 兩輛汽車每天出車的概率均為,且五輛汽車是否出車相互獨(dú)立,該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:
車牌尾號(hào) | 0和5 | 1和6 | 2和7 | 3和8 | 4和9 |
限行日 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 |
(1)求該公司在星期一至少有2輛汽車出國(guó)的概率;
(2)設(shè)表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和,求的分布列及期望.
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