Question

【題目】已知函數(shù)和分別是上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，分別求出曲線和切線斜率的最小值；

（Ⅲ）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，曲線在曲線和之間，且相互之間沒有公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）曲線和切線斜率的最小值分別為和；（Ⅲ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由函數(shù)奇偶性，可得，解得；（Ⅱ）由（Ⅰ），由基本不等式可得的最小值為2，又，可知曲線和切線斜率的最小值分別為2和0；（Ⅲ）由已知，，

故只需證，此命題等價(jià)于且，構(gòu)造函數(shù)，分情況討論及時(shí)，的函數(shù)值取值情況.

試題解析：（Ⅰ）由已知得，

所以。

（Ⅱ），

，

當(dāng)時(shí)，，

由基本不等式，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立。

故在單調(diào)遞增，即。

所以當(dāng)時(shí)，曲線和切線斜率的最小值分別為2和0。

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>。

所以只需證。

等價(jià)于，

等價(jià)于。

設(shè)函數(shù)，

。

①若，則，故在上為增函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，即。

②若，則，故在上為減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)，，即。

綜上，當(dāng)時(shí)，成立，

即曲線在曲線和之間，且相互之間沒有公共點(diǎn)。