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（本小題滿分14分）已知如圖(1)，梯形中，，，，、分別是、上的動點，且，設（）。沿將梯形翻折，使平面平面，如圖（2）。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（Ⅲ）當取得最大值時，求二面角的正弦值．
解：（Ⅰ）∵平面平面，，∴平面，
∴
∵，  又
∴平面。
又平面，
∴平面平面． ………………4分
（Ⅱ）平面,平面，
平面.
      ……………………………………6分
即時，有最大值．          ……………………………………8分
（Ⅲ）(方法一)如圖，以E為原點，、、為軸建立空間直角坐標系，
 則，，，
，
∴，，
設平面的法向量為，
則 ∴
設，則，，∴  ……………………………10分
平面的一個法向量為，
∴，      ……………………………12分
設二面角為，∴
∴二面角的正弦值為     …………………………………14分
(方法二)作于，作于，連。由（1）知平面平面，平面 又平面DGH
∴是二面角的平面角的補角．…………………………………10分
由∽，知，
而，，，
∴
又，∴  ……………12分
在中，。
∴二面角的正弦值為…………………………………14分 
略
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分14分)如圖，已知四面體ABCD的四個面均為銳角三角形，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA上的點，BD∥平面EFGH，且EH＝FG.

(1) 求證：HG∥平面ABC；
(2) 請在面ABD內過點E作一條線段垂直于AC，并給出證明．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題滿分14分）如圖,在直三棱柱中,，分別是的中點，且.
(1)求證：；
(2)求證：平面平面.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本題14分）如圖，在棱長為1的正方體中，E，P分別是側棱B1C1，上的中點
（1）求證：A1E//平面D1AP
（2）求直線AP與平面所成角的正切值

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線a∥平面的一個充分條件是（   ）
A．存在一條直線b，b∥，a∥b
B．存在一個平面，，∥
C．存在一個平面，a∥，∥
D．存在一條直線b，，a∥b

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分8分）在直三棱柱中，，，分別為棱、的中點，為棱上的點。
(1)證明：；
(2) 當時，求二面角的大小。

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題


．如圖，在四面體中， 平行于截面

(1)若,證明∥平面；
（2）若，猜想三條直線位置關系，并證明之.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，且，菱形ABCD的兩條對角線的交點為0，PA=PC，PB=PD，且PO=3.點E是線段PA的中點，連接EO、EB、EC.
 
(I)證明：直線OE//平面PBC;
(II)求二面角E-BC-D的大小

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