Question

如圖，點(diǎn)C、D在線段AB上，且△PCD是等邊三角形．
（Ⅰ）當(dāng)AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，△ACP∽△PDB；
（Ⅱ）當(dāng)△PDB∽△ACP時(shí)，試求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：選作題,立體幾何

分析：（1）利用△ACP∽△PDB的對(duì)應(yīng)邊成比例和等邊三角形的性質(zhì)可以找到AC、CD、DB的關(guān)系；
（2）利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)角相等和等邊三角形的性質(zhì)可以求出∠APB的度數(shù)．

解答： 解：（1）當(dāng)CD²=AC•DB時(shí)，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD²=AC•DB，由PC=PD=CD可得：PC•PD=AC•DB，
即

PC

BD

=

AC

PD

，
則根據(jù)相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB；
（2）當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí)，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°
∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
即可得∠APB的度數(shù)為120°．

點(diǎn)評(píng)：此題是開放性試題，要熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)．